SISTEM BILANGAN
I. DEFINISI
System bilangan (number system)
adalah suatu cara untuk mewakili besaran
dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia
adalah system biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam
symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia
mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan
komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off
(tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam
sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai.
Selain system bilangan biner,
komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal.
II. Teori
Bilangan
1. Bilangan Desimal
Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan
9. system ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer
desimal atau pecahan.
Integer desimal :
adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :
8 x 103 = 8000
5 x 102 = 500
9 x 101 = 90
8 x 100 = 8
8598
position
value/palce value absolute value
Absolue value
merupakan nilai untuk masing-masing digit bilangan, sedangkan position value adalah merupakan penimbang
atau bobot dari masing-masing digit tergantung dari letak posisinya, yaitu
nernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.
Pecahan
desimal :
Adalah nilai
desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75 adalah
pecahan desimal yang dapat diartikan :
1 x 10 2 = 100
8 x 10 1 =
80
3 x 10 0 =
3
7 x 10 –1 =
0,7
5 x 10 –2 =
0,05
183,75
2. Bilangan Biner
Sistem bilangan binary menggunakan 2
macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1.
Contoh bilangan
1001 dapat diartikan :
1 0 0 1
1
x 2 0 = 1
0
x 2 1 = 0
0
x 2 2 = 0
1
x 2 3 = 8
10
(10)
Operasi
aritmetika pada bilangan Biner :
a. Penjumlahan
Dasar penujmlahan biner adalah :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 dengan carry of 1, yaitu 1
+ 1 = 2, karena digit terbesar ninari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis),
jadi 2 – 2 = 0 dengan carry of 1
contoh :
1111
10100 +
100011
atau dengan
langkah :
1 + 0 =
1
1 + 0 =
1 |
1 + 1 =
0 dengan carry of 1
1 + 1 + 1 =
0 |
1 + 1 =
0 dengan carry of 1 1
0 0 0
1 1
b. Pengurangan
Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan
bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner
adalah :
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 – 1 = 1 dengan borrow of 1, (pijam
1 dari posisi sebelah kirinya).
Contoh :
11101
1011 -
10010
dengan langkah – langkah :
1 – 1 = 0 |
0 – 1 = 1 dengan borrow of 1
1 – 0 – 1 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
1 0
0 1 0
c. Perkalian
Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar
perkalian bilangan biner adalah :
0 x 0 = 0
1 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
contoh
|
Desimal
|
Biner
|
|
14
 12 x
28
14
+
168 |
1110
 1100 x
0000
0000
1110
 1110 +
10101000
|
d. pembagian
Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan
desimal. Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner
adalah :
0 : 1 = 0
1 : 1 = 1
|
Desimal
|
Biner
|
|
5 / 125 \ 25
 10
-
25
25 -
0
|
101 / 1111101 \ 11001
 101 -
101
 101 -
0101
 101 -
0
|
3. Bilangan Oktal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 8
macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.
Position value
system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8.
Contoh :
12(8) = ……
(10)
2
x 8 0 = 2
1
x 8 1 =8 10
Jadi 10 (10)
Operasi
Aritmetika pada Bilangan Oktal
a. Penjumlahan
Langkah-langkah penjumlahan octal :
-
tambahkan masing-masing kolom
secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke
octal
-
tuliskan hasil dari digit
paling kanan dari hasil octal
-
kalau hasil penjumlahan
tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry
of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh :
|
Desimal
|
Oktal
|
|||
|
21
 87 +
108
|
25
 127 +
   154 5 10 + 7 10 = 12 10 =
14 8 2 10 + 2 10
+ 1 10 = 5 10
= 5 8
1 10 = 1 10 =
1 8
|
b. Pengurangan
Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan
bilangan desimal.
Contoh :
|
Desimal
|
Oktal
|
|||
|
108
87 -
21
|
154
127 -
25 4 8 - 7 8 + 8 8 (borrow of) = 5 8   5 8 - 2 8
- 1 8 = 2 8
1 8 - 1 8 = 0 8
|
c. Perkalian
Langkah – langkah :
-
kalikan masing-masing kolom
secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke
octal
-
tuliskan hasil dari digit
paling kanan dari hasil octal
-
kalau hasil perkalian tiap
kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk
ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh :
|
Desimal
|
Oktal
|
|
14
12 x
28
14 +
168
|
16
14 x  70 4 10
x 6 10 = 24 10 = 30 8 4 10
x 1 10 + 3 10 = 7 10 = 7 8
16
14 x
70
  16 1 10
x 6 10 = 6 10 = 6 8 1 10
x 1 10 = 1 10 = 1 8
16
14 x
70
16 +  250 7 10
+ 6 10 = 13 10 = 15 8 1 10 + 1 10 = 2 10 = 2 8 |
d. Pembagian
|
Desimal
|
Oktal
|
|
12 /
168 \ 14
12
 -
48
48 –
0
|
14 / 250 \ 16
 14 - 14 8 x 1 8
= 14 8
110
  110 - 14 8 x 6 8 =
4 8 x 6 8 = 30 8 0 1 8 x 6 8 = 6 8 +
110 8
|
4. Bilangan
Hexadesimal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis
8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F
Dimana A = 10, B
= 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15
Position value
system bilangan octal adalah perpangkatan dari
nilai 16.
Contoh :
C7(16) =
…… (10)
7
x 16 0 = 7
C
x 16 1 = 192 199
Jadi 199 (10)
Operasi
Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal
a. Penjumlahan
Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan
penjumlahan bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal :
-
tambahkan masing-masing kolom secara
desimal
-
rubah dari hasil desimal ke
hexadesimal
-
tuliskan hasil dari digit
paling kanan dari hasil hexadesimal
-
kalau hasil penjumlahan
tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry
of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh :
|
Desimal
|
hexadesimal
|
|||
|
2989
1073
+
4062
|
BAD
431 +
FDE
D 16 + 1 16 = 13 10 + 110 = 14 10 = E 16
A 16 + 3 16 = 10 10 + 3 10 = 13 10 =D 16
B16 + 4 16 = 1110 + 4 10
= 15 10 = F 16
|
b. Pengurangan
Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan
pengurangan bilangan desimal.
Contoh :
|
Desimal
|
hexadesimal
|
|||
|
4833
1575 -
3258
|
12E1
627 -
 CBA
16 10 (pinjam) + 1 10 - 710 = 10 10 = A 16
14 10 - 7 10 - - 1 10 (dipinjam) = 11 10 =B 16
1610 (pinjam) + 2 10 - 610 = 12 10 = C 16
 1 10 – 1 10
(dipinjam) 0 10 = 0 16 |
c. Perkalian
Langkah – langkah :
-
kalikan masing-masing kolom
secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke
octal
-
tuliskan hasil dari digit
paling kanan dari hasil octal
-
kalau hasil perkalian tiap
kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk
ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh :
|
Desimal
|
Hexadesimal
|
|
172
27 x
1204
344 +
4644
|
AC
1B x 764 C 16
x B 16 =12 10
x 1110= 84 16 A16 x
B16 +816 = 1010 x 1110+810=7616
AC
1B x
764
AC C16
x 116 = 1210 x 110 =1210=C16 A16
x 116 = 1010 x110 =1010=A 16
AC
1B x
764
AC + 1224  616 + C16 = 610 + 1210 = 1810
=12 16 716+A16
+116 = 710 x 1010 + 110=1810
= 1216 |
D. Pembagian
Contoh :
|
Desimal
|
hexadesimal
|
|
27 / 4646
\ 172
27-
194
189 –
54
54 –
0
|
1B / 1214 \ AC
 10E - 1B16xA16 = 2710x1010=27010=
10E16
144
 144- 1B 16 x C16 = 2710
x 10 10 = 3240 10
0
=14416
|
III.
Konversi Bilangan
Konversi bilangan adalah suatu
proses dimana satu system bilangan dengan basis
tertentu akan dijadikan bilangan
dengan basis yang alian.
Konversi dari
bilangan Desimal
1. Konversi dari bilangan
Desimal ke biner
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan dua kemudian
diambil sisa pembagiannya.
Contoh :
45 (10) = …..(2)
45 : 2 = 22 + sisa 1
22 : 2 = 11 + sisa 0
11 : 2 = 5 + sisa 1
5 : 2 = 2 + sisa 1
2 : 2 =
1 + sisa 0 101101(2)
ditulis dari bawah ke atas
2. Konversi bilangan Desimal ke Oktal
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 kemudian diambil
sisa pembagiannya
Contoh :
385 ( 10 ) = ….(8)
385 : 8 = 48 + sisa 1
48 : 8 = 6 + sisa 0
601
(8)
3. Konversi bilangan Desimal ke Hexadesimal
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 kemudian
diambil sisa pembagiannya
Contoh :
1583 ( 10 ) = ….(16)
1583 : 16 = 98 + sisa 15
96 : 16 = 6 + sisa 2
62F
(16)
Konversi dari
system bilangan Biner
1. Konversi ke desimal
Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan
position valuenya.
Contoh :
1 0 0 1
1
x 2 0 = 1
0
x 2 1 = 0
0
x 2 2 = 0
1
x 2 3 = 8
10 (10)
2. Konversi ke Oktal
Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap tiga buah digit
biner yang dimulai dari bagian belakang.
Contoh :
11010100 (2) = ………(8)
11 010
100 |
3 2 4
diperjelas :
100 = 0 x 2 0 = 0
0
x 2 1 = 0
1
x 2 2 = 4
4
Begitu
seterusnya untuk yang lain.
3. Konversi ke Hexademial
Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap empat buah digit
biner yang dimulai dari bagian belakang.
Contoh :
11010100
1101 0100
D
4
Konversi dari
system bilangan Oktal
1. Konversi ke Desimal
Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan
position valuenya.
Contoh :
12(8) = ……
(10)
2
x 8 0 = 2
1
x 8 1 =8 10
Jadi 10 (10)
2. Konversi ke Biner
Dilakukan dengan mengkonversikan masing-masing digit octal ke tiga
digit biner.
Contoh :
6502 (8) ….. = (2)
2 = 010
0 = 000
5 = 101
6 = 110
jadi 110101000010
3. Konversi ke Hexadesimal
Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan octal menjadi bilangan
biner kemudian dikonversikan ke hexadesimal.
Contoh :
2537 (8) = …..(16)
2537 (8) = 010101011111
010101010000(2) = 55F (16)
Konversi dari bilangan Hexadesimal
1. Konversi ke Desimal
Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan
position valuenya.
Contoh :
C7(16) =
…… (10)
7
x 16 0 = 7 C
x 16 1 = 192 199
Jadi 199 (10)
2. Konversi ke Oktal
Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan hexadesimal menjadi
biner terlebih dahulu kemudian
dikonversikan ke octal.
Contoh :
55F (16) = …..(8)
55F(16) = 010101011111(2)
010101011111 (2) = 2537 (8)
Latihan :
Kerjakan soal
berikut dengan benar !
1. Sebutkan dan jelaskan empat macam system bilangan !
2. Konversikan bilangan berikut :
a. 10101111(2) = ………….(10)
b. 11111110(2) = ………….(8)
c. 10101110101 = …………(16)
3. Konversi dari :
a. ACD (16) = ………(8)
b. 174 (8) = ……..(2)
4. BC1
2A X
5. 245 (8) : 24 (8) =……..(8)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar